Question

奇函数f（x）=

ax2+bx+1

cx+d

（x≠0，a＞1），且当x＞0时，f（x）有最小值2

2

，又f（1）=3．
（1）求f（x）的表达式；
（2）正整数列{a_n}中，a₁=

5

，

an+12

an

=f（a_n），求数列{a_n}的通项公式；
（3）对（2）中的数列{a_n}，若g（x）=a₁²x+a₂²+x²+a₃²x³+…+a_n²xⁿ（n∈N^*），求函数g（x）在x=1处的导数g′（1），并比较2g′（1）与23n²-13n的大小．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）f（1）=3，可得a+b+1=3c+3d，f （x）是奇函数，可得b=0，当x＞0时，f（x）有最小值2

2

，可得c，即可求f（x）的表达式；
（2）证明{an2+1}为等比数列，其首项为6，公比为2，即可求数列{a_n}的通项公式；
（3）求得f′（1），进而求得2f′（1）．要比较2f'（1）与23n²-13n的大小，只需看2f′（1）-（23n²-13n）于0的关系．

解答： 解：（1）由f （1）=3得：a+b+1=3c+3d
∵f （x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
即（ax²-bx+1）（cx+d）=（cx-d）（ax²+bx+1），
∴

ad=bc d=0

又c、d不能同时为0，故b=0．
∵a+b+1=3c+3d，
∴a=3c-1＞1，
∴c＞

2

3

，
∴f（x）=

3c-1

c

x+

1

cx

≥2

3c-1 c • 1 c

当x＞0时，f（x）有最大值2

2

，
∴2

3c-1 c • 1 c

=2

2

，得c=1或

1

2

（舍去）
∴f（x）=

2x2+1

x

．
（2）解：由

an+12

an

=f（a_n）得：

an+12

an

=

2an2+1

an

，
∴an+12+1=2（an2+1）
∴{an2+1}为等比数列，其首项为6，公比为2
∴an2+1=3•2ⁿ，∴a_n=

3•2n-1

．
（3）解：g′（x）=a₁²+2a₂²x+…+na_n²x^n-1
从而g′（1）=a₁²+2a₂²+…+na_n²=（3×2-1）+2（3×2²-1）+…+n（3×2ⁿ-1）
=3（2+2×2²+…+n×2ⁿ）-（1+2+…+n）=3（n-1）•2ⁿ⁺¹-

n(n+1)

2

+6．
∴2g′（1）-（23n²-13n）=12（n-1）•2ⁿ-12（2n²-n-1）
=12（n-1）•2ⁿ-12（n-1）（2n+1）
=12（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]①
当n=1时，①式=0，∴2f'（1）=23n²-13n；
当n=2时，①式=-12＜0，∴2f'（1）＜23n²-13n
当n≥3时，n-1＞0又2ⁿ=（1+1）ⁿ=C_n⁰+C_n¹++C_n^n-1+C_nⁿ≥2n+2＞2n+1
∴（n-1）[2ⁿ-（2n+1）]＞0即①＞0
从而2f′（1）＞23n²-13n．

点评：本题给出数列的递推公式，求数列的通项并且比较两个式子的大小，着重考查等比数列、错位相减法，考查灵活运用知识解决问题的能力，属于难题．