Question

已知函数f（x）是正比例函数，函数g（x）是反比例函数且f（1）=1，g（1）=2，
（1）求函数f（x）和g（x）的解析式
（2）求证：函数p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上单调递减
（3）求p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上的最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设正比例函数f（x）=kx，反比例函数g（x）=

k′

x

，则由f（1）=1，g（1）=2，求得 k和k′的值，可得f（x）和g（x）的解析式．
（2）根据 p′（x）=1-

2

x2

 在（0，

2

]上小于或等于零恒成立，证明函数p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上单调递减．
（3）由于p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上单调递减，可得当x=

2

时，函数p（x）取得最小值，计算求得结果．

解答： 解：（1）设正比例函数f（x）=kx，反比例函数g（x）=

k′

x

，则由f（1）=1，g（1）=2，
可得

k

1

=1，

k′

1

=2，求得 k=1，k′=2，∴f（x）=x，g（x）=

2

x

．
（2）证明：∵函数p（x）=f（x）+g（x）=x+

2

x

，∴p′（x）=1-

2

x2

 在（0，

2

]上小于或等于零恒成立，
∴函数p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上单调递减．
（3）由于p（x）=f（x）+g（x）在（0，

2

]上单调递减，
故当x=

2

时，函数p（x）取得最小值为

2

+

2

2

=2

2

．

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，根据函数的单调性求函数的最值，属于基础题．