Question

给出下列四个命题：
①已知点到直线的距离为1；
②若f'（x）=0，则函数y=f（x）在x=x取得极值；
③m≥-1，则函数的值域为R；
④在极坐标系中，点到直线的距离是2．
其中真命题是    （把你认为正确的命题序号都填在横线上）

Answer 1

【答案】分析：①先利用微积分基本定理求定积分的值，得a值，再利用点到直线的距离公式计算距离即可判断；②举反例即可判断其为假命题；③当对数函数的真数能取遍一切正数时，其值域为R，据此即可判断；④先将极坐标化为直角坐标，将极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式即可作出判断
解答：解：①∵a=∫_πsinxdx，a=∫^πsinxdx=-cosx|^π=-cosπ+cos0=2
∴到直线的距离为d==1，故①为真命题
②例如f（x）=x³，f′（0）=0，但在x=0不取极值，故②为假命题
③若m≥-1，则二次函数y=x²-2x-m的判别式△=4+4m≥0，其函数值可取遍一切正数，故函数的值域为R，③为真命题
④将极坐标化为直角坐标，即点P（2cos，2sin），即P（1，），直线即ρsinθcos-ρcosθsin=3化为直角坐标方程为y-x=3
∴点P（1，）到直线y-x=3的距离为d==2，故④为真命题
故答案为①③④
点评：本题综合考察了定积分的求法，点到直线的距离公式，函数极值的意义，对数函数的值域，极坐标与直角坐标的互化等基础知识