Question

将边长为2，锐角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成二面角A-BD-C，点E，F分别为AC，BD的中点，给出下列四个命题：
①EF∥AB；②直线EF是异面直线AC与BD的公垂线；③当二面角A-BD-C是直二面角时，AC与BD间的距离为

6

2

；④AC垂直于截面BDE．
其中正确的是

②③④

（将正确命题的序号全填上）．

Answer 1

分析：画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．

解答：解：如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，在等腰三角形AFC中，EF⊥AC
即直线EF是异面直线AC与BD的公垂线，故②正确．
当二面角A-BD-C是直二面角时，则∠CFA=90°，
由于 FA=FC=

3

，且AC=

6

，EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，
∴EF⊥AC，EF=

FA•FC

AC

=

6

2

当二面角A-BD-C是直二面角时，即AC与BD间的距离为

6

2

，故③正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故④正确．
故答案为 ②③④．

点评：本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，
位于折线两侧的元素关系会发生变化．