Question

给出下列四个命题：
①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
②函数y=x³与y=3^x的值域相同；
③函数y=

1

2

+

1

2x-1

与y=

(1+2x)2

x•2x

都是奇函数；
④函数y=（x-1）²与y=2^x-1在区间[0，+∞）上都是增函数，其中正确命题的序号是（　　）

A．（1）（3）

B．（1）（4）

C．（2）（3）

D．（2）（4）

Answer 1

分析：①函数y=a^x与函数y=log_aa^x的定义域都为R，
②函数y=x³的值域为R，而y=3^x＞0，
③令f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

，g（x）=y=

(1+2x)2

x•2x

，，检验f（-x）与f（x），g（-x）与g（x）的关系可检验函数的奇偶性
④根据二次函数的性质可知函数y=（x-1）²与在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，函数y=2^x-1在区间[0，+∞）上是增函数

解答：证明：①函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域都为R，故①正确
②函数y=x³的值域为R，而y=3^x＞0，则值域不相同，故②错误
③∵f（x）=y=

1

2

+

1

2x-1

=

2x+1

2(2x-1)

∴f(-x)=

2-x+1

2(2-x-1)

=

1+2x

2(1-2x)

=-f（x），
而g（x）=y=

(1+2x)2

x•2x

，g（-x）=

(2-x+1)2

(-x)•2-x

=

(2x+1 )2

(-x)•2x

=-g（x），故都是奇函数；
④根据二次函数的性质可知函数y=（x-1）²与在[0，1]上单调递减，在[1，+∞）单调递增，函数y=2^x-1在区间[0，+∞）上是增函数，故④错误
故选A

点评：本题主要考查了指数函数、对数函数与幂函数的定义域 与值域的求解，函数的奇偶性的判定，二次函数与指数函数的单调区间的判定，属于函数知识的综合应用．