Question

已知函数f（x）=x²+mx-lnx，m∈R
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，3]上是增函数，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-x²，是否存在实数m，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数F（x）的最小值是2，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若函数f（x）在[1，3]上是增函数，则f′（x）=

2x2+mx-1

x

≥0在[1，3]上恒成立，即可求实数m的取值范围；
（Ⅱ）先假设存在实数m，求导得g′（x）=

mx-1

x

，m在系数位置对它进行讨论，结合x∈（0，e]，分三种情况进行．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）在[1，3]上是增函数，
∴f′（x）=

2x2+mx-1

x

≥0在[1，3]上恒成立，
令h（x）=2x²+mx-1，则

h(1)≥0 h(3)≥0

得m≥-1；
（Ⅱ）假设存在实数m，使g（x）=mx-lnx（x∈（0，e]）有最小值2，g′（x）=

mx-1

x

当m≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=me-1=2，∴m=

3

e

（舍去），
∴g（x）无最小值．
当0＜

1

m

＜e时，g（x）在（0，

1

m

）上单调递减，在（

1

m

，e]上单调递增
∴g（x）_min=g（

1

m

）=1+lnm=2，m=e，满足条件．
当

1

m

≥e时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）_min=g（e）=me-1=2，∴m=

3

e

（舍去），
∴f（x）无最小值．
综上，存在实数m=e，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值2．

点评：本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用，函数若为单调函数，则转化为不等式恒成立问题，解决时往往又转化求函数最值问题．