Question

6．随机抽取某厂的某种产品400件，经质检，其中有一等品252件、二等品100件、三等品40件、次品8件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．
（Ⅰ）求ξ的分布列；
（Ⅱ）求1件产品的平均利润；
（Ⅲ）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.75万元，则三等品率最多是多少？

Answer 1

分析 （I）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列．
（II）由ξ的分布列，能求出1件产品的平均利润．
（III）设技术革新后的三等品率为x，求出此时1件产品的平均利润为E（x）=4.76-x（0≤x≤0.29），由此能求出三等品率最多为1%．

解答 （满分12分）
解：（I）ξ的所有可能取值有6，2，1，-2，
$P（ξ=6）=\frac{252}{400}=0.63$，
$P（ξ=2）=\frac{100}{400}=0.25$，
$P（ξ=1）=\frac{40}{400}=0.1$，
$P（ξ=-2）=\frac{8}{400}=0.02$，
故ξ的分布列为：

ξ	6	2	1	-2
P	0.63	0.25	0.1	0.02

（II）由ξ的分布列，得：
1件产品的平均利润为：Eξ=6×0.63+2×0.25+1×0.1+（-2）×0.02=4.34（万元）．
（III）设技术革新后的三等品率为x，
则此时1件产品的平均利润为E（x）=6×0.7+2×（1-0.7-0.01-x）+x+（-2）×0.01=4.76-x（0≤x≤0.29）
依题意，E（x）≥4.75，即4.76-x≥4.75，解得x≤0.01
∴三等品率最多为1%．

点评 本题考查概率分布列的求法，考查产品的平均利润的求法，考查三等品率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．