Question

16．等差数列{a_n}中，a₂=5，a₄=11，记数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的前n项和为S_n，若对任意的n∈N⁺，都有S_2n+1-S_n≤$\frac{m}{20}$成立，则整数m的最小值为（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 由等差数列的通项公式求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，可得其最大值，从而求出m的取值范围，结合m为正整数，即可求出m的值．

解答 解：等差数列{a_n}中，a₂=5，a₄=11，
∴公差d=$\frac{{a}_{4}{-a}_{2}}{4-2}$=3
∴a_n=5+3（n-2）=3n-1，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{3n-1}$，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）=（$\frac{1}{{a}_{n+1}}$+$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+1}}$）-（$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n+3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$）
=$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+2}}$-$\frac{1}{{a}_{2n+3}}$=$\frac{1}{3n+2}$-$\frac{1}{6n+5}$-$\frac{1}{6n+8}$=（$\frac{1}{6n+4}$-$\frac{1}{6n+5}$）+（$\frac{1}{6n+4}$-$\frac{1}{6n+8}$）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{1}{5}$=$\frac{13}{40}$；
∴只需$\frac{13}{40}$≤$\frac{m}{20}$，变形可得m≥$\frac{13}{2}$，
又∵m是正整数，∴m的最小值为7．
故选：C．

点评 本题考查数列与不等式的结合，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列并求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值是解决问题的关键，是综合性题目．