Question

15．如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点． 将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求证：AD⊥BM；
（Ⅱ）求直线CM与平面ADM所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （I）求出AM，BM，利用勾股定理的逆定理得出AM⊥BM．由面面垂直的性质得出BM⊥平面ADM，于是AD⊥BM；
（II）作CH⊥AM于H，根据面面垂直的性质得出CH⊥平面ADM，于是∠CMH即为所求的线面角．

解答 （I）证明：∵AD=DM=1，CM=BC=1，∠ADM=∠BCM=90°，
∴AM=BM=$\sqrt{2}$，又AB=2，
∴AM²+BM²=AB²，∴AM⊥BM．
又平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM，又AD?平面ADM，
∴AD⊥BM．
（II）解：在平面ABCM内作CH⊥AM于H，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，CH?平面ABCM，
∴CH⊥平面ADM．
∴∠CMH就是CM与平面ADM所成的角．
由平面几何知识可知∠CMH=45°．
∴直线CM与平面ADM所成角的正弦值为sin∠CMH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，线面角的计算，属于中档题．