Question

已知函数f（x）=x³-ax²+3x+1．
（Ⅰ）当a=5时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a=5时，f（x）=x³-5x²+3x+1，求导f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），从而求切线方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），由导数的正负确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点可转化为f′（x）=3x²-2ax+3=0在（2，3）内有解且f′（x）=3x²-2ax+3在（2，3）上有正有负，从而求实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）当a=5时，f（x）=x³-5x²+3x+1，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
f（2）=8-5×4+3×2+1=-5，
f′（2）=12-20+3=-5，
故曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线方程为
y+5=-5（x-2），
即5x+y-5=0；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，
f′（x）=3x²-10x+3=（3x-1）（x-3），
则函数f（x）的单调增区间为（-∞，

1

3

），（3，+∞）；
单调减区间为[

1

3

，3]；
（Ⅲ）f′（x）=3x²-2ax+3，
①当

a

3

≤2或

a

3

≥3，即a≤6或a≥9时，
f′（x）在[2，3]上单调，
故有f′（2）•f′（3）＜0，
即（12-4a+3）（27-6a+3）＜0，
故

15

4

＜a＜5，
②当2＜

a

3

＜3，即6＜a＜9时，
f′（2）＞0或f′（3）＞0，且f′（

a

3

）＜0；
无解；
故若f（x）在区间（2，3）内至少有一个极值点，
实数a的取值范围为（

15

4

，5）．

点评：本题考查了导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于难题．