Question

2．已知定义在R上的函数f（x），对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，当x＞0时，f（x）＞1；且f（2）=3，
（1）求f（0）及f（1）的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并给予证明；
（3）若f（-kx²）+f（kx-2）＜2对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，由题意即可求解f（0），令a=b=1，即可求解f（1）．
（2）利用单调性的定义在R上任取x₁、x₂，设x₁＞x₂，推出f（x₁）＞f（x₂），得到函数f（x）在R上为单调递增；
（3）通过f（-kx²）+f（kx-2）＜2对任意的x∈R恒成立，转化为kx²-kx+2＞0对任意的x∈R恒成立，①当k=0时，②当k≠0时，分别求解即可．

解答 解：（1）令a=b=0，由题意可知：f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1，
同理，令a=b=1，则有f（2）=f（1）+f（1）-1，又f（2）=3，所以f（1）=2；…（2分）
（2）在R上任取x₁、x₂，设x₁＞x₂，
则f（x₁）=f（x₁-x₂）+f（x₂）-1，所以f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
又当x＞0时，f（x）＞1且x₁-x₂＞0，所以f（x₁-x₂）＞1，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
故函数f（x）在R上为单调递增；…（6分）
（3）因为f（-kx²）+f（kx-2）＜2对任意的x∈R恒成立，
由题意可转化为kx²-kx+2＞0对任意的x∈R恒成立，…（7分）
①当k=0时，得2＞0，符合题意；…（9分）
②当k≠0时，则$\left\{{\begin{array}{l}{k＞0}\\{{{（-k）}^2}-8k＜0}\end{array}}\right.$，解得0＜k＜8…（11分）
故符合题意的实数k的取值范围为0≤k＜8…（12分）

点评 本题考查函数恒成立，函数的单调性以及抽象函数的应用，函数值的求法，考查转化思想以及计算能力．