Question

已知α，β∈（0，

π

2

），满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是．

• A、

  1

  4

• B、

  2

  4

• C、

  3

  4

  2

• D、

  3

  4

Answer 1

考点：两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：利用两角和的正切将tan（α-β）=4tanβ，转化，整理为关于tanβ的一元二次方程，利用题意，结合韦达定理即可求得答案．

解答： 解：∵tan（α-β）-4tanβ=0，
∴

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

-4tanβ=0，
∴4tanαtan²β-3tanβ+tanα=0，①
∴α，β∈（0，

π

2

），
∴方程①有两正根，tanα＞0，
∴△=9-16tan²α≥0，
∴0＜tanα≤

3

4

．
∴tanα的最大值是

3

4

．
故选D．

点评：本题考查两角和与差的正切函数，考查一元二次方程中韦达定理的应用，考查转化思想与方程思想，也可以先求得tanα，再利用基本不等式予以解决，属于中档题．