Question

在三角形ABC中，sin2CcosC+

3

cosC=cos2CsinC+

3

．
（1）求角C的大小；
（2）若AB=2，且sinBcosA=sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理的应用,三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：（1）利用已知条件通过两角和的正弦函数化简为角C的三角方程，求出角C的三角函数值，然后求出C的大小；
（2）利用二倍角化简sinBcosA=sin2A，求出A的值，然后求解三角形ABC的面积．

解答： 解：（1）在三角形ABC中，sin2CcosC+

3

cosC=cos2CsinC+

3

．
化简得：sinC=

3

-

3

cosC，即sinC+

3

cosC=

3

，
得2sin（C+

π

3

）=

3

，则sin（C+

π

3

）=

3

2

．
故C+

π

3

=

π

3

或

2π

3

（舍），则C=

π

3

．（6分）
（2）因为sinBcosA=sin2A=2sinAcosA，所以cosA=0或sinB=2sinA．
当cosA=0时，A=90°，则b=

2

3

，S△ABC=

1

2

bc=

1

2

×

2

3

×2=

2 3

3

；（8分）
当sinB=2sinA时，由正弦定理得b=2a．
由cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+4a2-4

2a×2a

=

1

2

，可知a²=

4

3

． （10分）
所以S△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×2a×a×

3

2

=

3

2

a2=

2 3

3

．（12分）

点评：本题考查正弦定理的应用余弦定理分应用，三角形的面积的求法，两角和与差的三角函数，考查计算能力．