Question

如图，已知四面体PABC的四个顶点P，A，B，C均在球O的表面上，且AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC，则球O的体积是

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：如图所示，取AB的中点D，过点D作OD⊥平面ABC，由于PC⊥AC，AC=BC，PA=PB，可得PC⊥BC，PC⊥平面ABC．设OD交PC的垂直平分线于点O，则点O为球心．求出即可．

解答： 解：如图所示，
取AB的中点D，过点D作OD⊥平面ABC，
∵PC⊥AC，AC=BC，PA=PB，
∴PC⊥BC，
又AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∴PC∥OD．
OD交PC的垂直平分线于点O，则点O为球心．
球的半径R=OC=

CD2+( 1 2 PC)2

=

( 2 )2+12

=

3

．
∴球O的体积V=

4π

3

R3=

4π×( 3 )3

3

=4

3

π．
故答案为：4

3

π．

点评：本题考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．