Question

6．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$过定点$（1，\frac{3}{2}）$，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于以其两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积的2倍．
（Ⅰ）求此椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线x+y+1=0与椭圆交于A，B两点，x轴上一点P（m，0），使得∠APB为锐角，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积${S_1}=\frac{1}{2}•2a•2b=2ab$，以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积${S_2}=\frac{1}{2}•2c•2b=2cb$．由$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=2，可得a=2c．可设椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，代入$（1，\frac{3}{2}）$点代入即可得出．
（II）由∠APB为锐角，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＞0$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{PA}=（{x_1}-m，{y_1}）$，$\overrightarrow{PB}=（{x_2}-m，{y_2}）$，联立椭圆方程与直线方程x+y+1=0消去y并整理得7x²+8x-8=0．代入上述不等式解出即可得出．

解答 解：（Ⅰ）以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积${S_1}=\frac{1}{2}•2a•2b=2ab$，
以两个短轴端点和两个焦点为顶点的四边形面积${S_2}=\frac{1}{2}•2c•2b=2cb$．
∵$\frac{S_1}{S_2}=\frac{2ab}{2bc}=\frac{a}{c}=2$，∴a=2c．可设椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
代入$（1，\frac{3}{2}）$点可得c²=1．所求椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$．
（II）由∠APB为锐角，得$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}＞0$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\overrightarrow{PA}=（{x_1}-m，{y_1}）$，$\overrightarrow{PB}=（{x_2}-m，{y_2}）$，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=（{x_1}-m）（{x_2}-m）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{y_1}{y_2}＞0$，
联立椭圆方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$与直线方程x+y+1=0消去y并整理得7x²+8x-8=0．
∴${x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$，${x_1}+{x_2}=-\frac{8}{7}$，进而求得${y_1}{y_2}=-\frac{9}{7}$，
∴${x_1}{x_2}-m（{x_1}+{x_2}）+{m^2}+{y_1}{y_2}=-\frac{8}{7}-m•（-\frac{8}{7}）+{m^2}-\frac{9}{7}＞0$，
即7m²+8m-17＞0，解之得m的取值范围$（-∞，\frac{{-4-3\sqrt{15}}}{7}）∪（\frac{{-4+3\sqrt{15}}}{7}，+∞）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、四边形面积计算公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．