Question

11．设函数f（x）=（2x+a）ⁿ，其中$n=6\int_0^{\frac{π}{2}}{cosxdx，\frac{f'（0）}{f（0）}}=-12$，则f（x）的展开式中x⁴的系数为240．

Answer 1

分析 利用定积分求出n的值，再求函数f（x）的导数，利用$\frac{f′（0）}{f（0）}$求出a的值，从而求出展开式中含x⁴项的系数．

解答 解：∵n=6${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=6sinx${|}_{0}^{\frac{π}{2}}$=6，
∴函数f（x）=（2x+a）⁶，
∴f′（x）=12（x+a）⁵，
∴$\frac{f′（0）}{f（0）}$=$\frac{12{×a}^{5}}{{a}^{6}}$=-12，
解得a=-1，
∴f（x）=（2x-1）⁶展开式中含x⁴的项为
${C}_{6}^{2}$•（2x）^6-2•（-1）²=240x⁴；
它的系数是240．
故答案为：240．

点评 本题考查了定积分与基本初等函数的导数公式以及二项式展开式的应用问题，是中档题．