Question

9．袋中共有6个球，其中有2个白球，4个黑球，这些球除颜色外完全相同．从袋中随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中．重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为x_n．
（1）求随机变量x₂的概率分布列及数学期望E（x₂）；
（2）求随机变量x_n的数学期望E（x_n）关于n的表达式．

Answer 1

分析 （1）依题意可得：X₂的取值为2，3，4求出概率得到分布列，然后求解期望即可．
（2）设P（X_n=2+k）=P_k，k=0，1，2，3，4．P₀+P₁+P₂+P₃+P₄=1，得到E（X_n）=2P₀+3P₁+4P₂+5P₃+6P₄，推出$E（{X_{n+1}}）-6=\frac{5}{6}（E（{X_n}）-6）$，然后求解得到$E（{X_n}）=6-\frac{10}{3}×{（{\frac{5}{6}}）^{n-1}}$．

解答 解：（1）依题意可得：X₂的取值为2，3，4．----------------------------------------（1分）
当X₂=2时，即两次摸球均摸到白球，其概率为$P（{X_2}=2）=\frac{C_2^1}{C_6^1}×\frac{C_2^1}{C_6^1}=\frac{1}{9}$；------------（2分）
当X₂=3时，即两次摸球恰好摸到一白，一黑，其概率为$P（{X_2}=3）=\frac{C_2^1}{C_6^1}\frac{C_4^1}{C_6^1}+\frac{C_4^1}{C_6^1}\frac{C_3^1}{C_6^1}=\frac{5}{9}$----（3分）
当X₂=4时，即两次摸球均摸到黑球，其概率是P（X₂=4）=$\frac{{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{1}}×\frac{{C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{1}}$=$\frac{1}{3}$．---------------（4分）
所以随机变量X₂的分布列如下表：

X2	2	3	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{5}{9}$	$\frac{1}{3}$

-数学期望$E（{X_2}）=2×\frac{1}{9}+3×\frac{5}{9}+4×\frac{1}{3}=\frac{29}{9}$．-----------------------------------------（6分）
（2）设P（X_n=2+k）=P_k，k=0，1，2，3，4．
则P₀+P₁+P₂+P₃+P₄=1，
E（X_n）=2P₀+3P₁+4P₂+5P₃+6P₄．---------------------------------------（7分）
$P（{X_{n+1}}=2）=\frac{2}{6}{P_0}=\frac{1}{3}{P_0}$；       
 $P（{X_{n+1}}=3）=\frac{4}{6}{P_0}+\frac{3}{6}{P_1}=\frac{2}{3}{P_0}+\frac{1}{2}{P_1}$；
$P（{X_{n+1}}=4）=\frac{3}{6}{P_1}+\frac{4}{6}{P_2}=\frac{1}{2}{P_1}+\frac{2}{3}{P_2}$；
$P（{X_{n+1}}=5）=\frac{2}{6}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3}=\frac{1}{3}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3}$；
$P（{X_{n+1}}=6）=\frac{1}{6}{P_3}+\frac{6}{6}{P_4}=\frac{1}{6}{P_3}+{P_4}$；--------10分
$E（{X_{n+1}}）=2×\frac{2}{6}{P_0}+3×（\frac{4}{6}{P_0}+\frac{3}{6}{P_1}）+4×（\frac{3}{6}{P_1}+\frac{4}{6}{P_2}）+5×（\frac{2}{6}{P_2}+\frac{5}{6}{P_3}）+6×（\frac{1}{6}{P_3}+\frac{6}{6}{P_4}）$
=$\frac{16}{6}{P}_{0}+\frac{21}{6}{P}_{1}+\frac{26}{6}{P}_{2}+\frac{31}{6}{P}_{3}+\frac{36}{6}{P}_{4}$
=$\frac{5}{6}$×（2P₀+3P₁+4P₂+5P₃+6P₄）+（P₀+P₁+P₂+P₃+P₄）
=$\frac{5}{6}E（{X}_{n}）+1$．
由此可知，$E（{X_{n+1}}）-6=\frac{5}{6}（E（{X_n}）-6）$，
又$E（{X_1}）-6=\frac{8}{3}-6=-\frac{10}{3}$，
所以$E（{X_n}）=6-\frac{10}{3}×{（{\frac{5}{6}}）^{n-1}}$--------（12分）

点评 本题考查离散性随机变量的分布列期望的求法，考查转化思想以及计算能力．