题目内容
【题目】已知等比数列满足
,数列
满足
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)令,求数列
的前
项和
;
(3)若,求对所有的正整数
都有
成立的
的取值范围.
【答案】(1),
;(2)
(3)见解析
【解析】试题分析:
(1)首先由题意求得首项和公比,则数列的通项公式是
,然后利用递推关系可得
的通项公式是
;
(2)错位相减可得数列的前
项和
;
(3)结合(1)(2)的结论可得数列为单调递减数列,然后结合恒成立的条件可得
.
试题解析:
(1)设等比数列的公比为
,
由,得
,所以
故数列是以2为首项,
为公比的等比数列,所以
因为,所以
,
所以是首项为1,公差为2的等差数列
所以,
(2)因为,
③
所以④
③﹣④得
所以
(3)证明:由(1)知,
因为
所以数列为单调递减数列
当时,
,即
得最大值为1
由,所以
而当时,
,当且仅当
时取等号
故.
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练习册系列答案
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另外15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另外30人比较粗心.
(1)试根据上述数据完成列联表;
数学成绩及格 | 数学成绩不及格 | 合计 | |
比较细心 | 45 | ||
比较粗心 | |||
合计 | 60 | 100 |
(2)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系?
参考数据:独立检验随机变量的临界值参考表:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
,其中