Question

13．已知函数f（x）=x³+ax²+bx，（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为3，则a的值为$-\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 题目中给出了函数图象与x轴围成的封闭图形的面积，所以我们可以从定积分着手，求出函数以及函数与x轴的交点，建立等式求解参数．

解答 解：由已知对方程求导，得：f′（x）=3x²+2ax+b．
由题意直线y=0在原点处与函数图象相切，故f′（0）=0，
代入方程可得b=0．
故方程可以继续化简为：f（x）=x³+ax²=x²（x+a），
令f（x）=0，可得x=0或者x=-a，
可以得到图象与x轴交点为（0，0），（-a，0），由图得知a＜0．
故对-f（x）从0到-a求定积分即为所求面积，即：
-∫₀^-af（x）dx=3，
将 f（x）=x³+ax²代入得：
∫₀^-a（-x³-ax²）dx=3，
求解，得a=-$\sqrt{6}$．
故答案为：-$\sqrt{6}$．

点评 将函数图象，函数的导数，以及定积分的计算有机结合起来，考查了学生的综合能力