Question

3．已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中 a＜0．
（1）若函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出原函数的导函数，由导函数在区间（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0，利用分离参数法求得a的取值范围；
（2）求出函数f（x）的单调区间，求导可知，a＜0时g（x）在定义域内为减函数，再由f（x）的减区间非空求得a的范围．

解答 解：（1）f′（x）=e^x+a，
∵函数f（x）是（l，ln 5）上的单调函数，
∴f′（x）=e^x+a在（l，ln 5）上恒大于等于0或恒小于等于0．
由f′（x）=e^x+a≥0，得a≥-e^x，
∵当x∈（l，ln 5）时，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈[-e，0）；
由f′（x）=e^x+a≤0，得a≤-e^x，
∵当x∈（l，ln 5）时，-e^x∈（-5，-e），
∴a∈（-∞，-5]．
综上，a的取值范围是（-∞，-5]∪[-e，0）；
（2）f′（x）=e^x+a，令f′（x）=e^x+a=0，得x=ln-a，
当x∈（-∞，ln（-a））时，f′（x）＜0，当x∈（ln（-a），+∞）时，f′（x）＞0．
∴f（x）的减区间为（-∞，ln（-a）），增区间为（ln（-a），+∞）；
g′（x）=a-$\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$（x＞0），
∵a＜0，∴g′（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
若存在区间M，使f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性，
则ln（-a）＞0，即-a＞1，得a＜-1．
∴a的取值范围是（-∞，-1）．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查导函数的符号与原函数单调性间的关系，是中档题．