Question

19．已知向量$\overrightarrow p=（cosα-5，-sinα），\overrightarrow q=（sinα-5，cosα），\overrightarrow p∥\overrightarrow q$，且α∈（0，π）．
（1）求tan2α的值；
（2）求sin²（$\frac{α}{2}$$+\frac{π}{6}$）-sin（$α+\frac{π}{6}$）的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量共线的性质求得sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，再利用同角三角函数的基本关系求得tanα＜-1，可得tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$ 的值．
（2）先由条件求得sinα和cosα的值，再利用半角公式求得要求式子的值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow p=（cosα-5，-sinα），\overrightarrow q=（sinα-5，cosα），\overrightarrow p∥\overrightarrow q$，且α∈（0，π），
∴（cosα-5）cosα=-sinα（sinα-5），化简可得cosα+sinα=$\frac{1}{5}$，
平方求得sinαcosα=-$\frac{12}{25}$，
∴α∈（$\frac{π}{2}$，π），且|sinα|＞|cosα|，∴tanα＜-1．
再根据sinαcosα=$\frac{sinαcosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$=-$\frac{12}{25}$，求得tanα=-$\frac{4}{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1{-tan}^{2}α}$=$\frac{24}{7}$．
（2）由（1）可得α∈（$\frac{π}{2}$，π），tanα=-$\frac{4}{3}$，∴sinα=$\frac{4}{5}$，cosα=-$\frac{3}{5}$，
∴sin²（$\frac{α}{2}$$+\frac{π}{6}$）-sin（$α+\frac{π}{6}$）=$\frac{1-cos（α+\frac{π}{3}）}{2}$-sin（α+$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1-\frac{1}{2}cosα+sinα•\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$-sinα•$\frac{\sqrt{3}}{2}$-cosα•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$cosα-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sinα
=$\frac{1}{2}$-$\frac{3}{4}$•（-$\frac{3}{5}$）-$\frac{\sqrt{3}}{4}$•$\frac{4}{5}$=$\frac{19-4\sqrt{3}}{20}$．

点评 本题主要考查两个向量共线的性质，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．