Question

将形如

.

a b c d

.

的符号称二阶行列式，现规定

.

a b c d

.

=ad-bc，函数f（x）=

.

3 sinωx - 3 cosωx

.

在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（2）若-2＜f（x）-m＜2，在x∈[0，2]上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由条件求得函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数的增区间．
（2）依题意，

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

在x∈[0，2]时恒成立，即

m＞f(x)max-2 m＜f(x)min+2

．利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域，可得m的范围．

解答： 解：（1）由题意可得 f（x）=

.

3 sinωx - 3 cosωx

.

=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）=2

3

sin（ωx+

π

3

），
故f（x）_max=2

3

，∴BC=4，

T

2

=4，T=8=

2π

ω

，∴ω=

π

4

，∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

）．
令2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得8k-

10

3

≤x≤8k+

2

3

，
故函数的单调递增区间：[-

10

3

+8k，

2

3

+8k]，k∈Z．
（2）依题意，

m＞f(x)-2 m＜f(x)+2

在x∈[0，2]时恒成立，
∴

m＞f(x)max-2 m＜f(x)min+2

．
∵x∈[0，2]，∴

π

4

x+

π

3

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（

π

4

x+

π

3

）∈[

1

2

，1]，f（x）∈[

3

，2

3

]．
∴m＞2

3

-2，且 m＜

3

+2，故要求的m的范围是（2

3

-2，

3

+2）．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性、函数的恒成立问题，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．