Question

17．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点和短轴端点都在圆x²+y²=4上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点P（-3，2），若斜率为1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABP是以AB为底边的等腰三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）圆x²+y²=4与坐标轴的交点为：（±2，0），（0，±2）．可得c=2，b=2，可得a²=b²+c²．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段MN的中点D（x₀，y₀）．设直线l的方程为：y=x+m．与椭圆方程联立化为：3x²+4mx+2m²-8=0，△＞0，利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得：D，利用△ABP是以AB为底边的等腰三角形，可得k_AB•k_PD=-1，即可得出．

解答 解：（1）圆x²+y²=4与坐标轴的交点为：（±2，0），（0，±2）．
可得焦点：（±2，0），短轴端点：（0，±2）．
∴c=2，b=2，可得a²=b²+c²=8．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．线段AB的中点D（x₀，y₀）．
设直线l的方程为：y=x+m．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，3x²+4mx+2m²-8=0，
△=16m²-12（2m²-8）＞0，化为：m²＜12．
∴x₁+x₂=$\frac{-4m}{3}$，
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，y₀=x₀+m=$\frac{m}{3}$．
∵△ABP是以AB为底边的等腰三角形，
∴k_AB•k_PD=-1，
1×$\frac{\frac{m}{3}-2}{-\frac{2m}{3}+3}$=-1，
解得m=3．满足△＞0．
∴直线l的方程为y=x+3．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系、等腰三角形的性质、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．