Question

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤$\frac{π}{2}$），若（-$\frac{π}{4}$，0）为f（x）的图象的对称中心，x=$\frac{π}{4}$为f（x）的极值点，且f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）单调，则ω的最大值为5．

Answer 1

分析 由函数的对称性可知：ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，相减可得ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）单调，ω×$\frac{5π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{5}$+φ≤2π+$\frac{π}{2}$，求得ω≤8，由ω=7时，求得φ的值，求得函数的单调区间，由f（x）=sin（7x-$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）不单调，不满足题意，同理求得当ω=5时，满足题意，即可求得ω的最大值．

解答 解：由（-$\frac{π}{4}$，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，n∈Z，
x=$\frac{π}{4}$为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴，
∴ω•$\frac{π}{4}$+φ=n′π+$\frac{π}{2}$，n′∈Z，
∴相减可得ω•$\frac{π}{2}$=（n′-n）π+$\frac{π}{2}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，
f（x）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）单调，ω×$\frac{5π}{18}$+φ≥2kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{2π}{5}$+φ≤2π+$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{11}{90}$ωπ≤π，ω≤8，
当ω=7时，7（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，|φ|≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=-$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=sin（7x-$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）不单调，不满足题意，
当ω=5时，5（-$\frac{π}{4}$）+φ=nπ，|φ|≤$\frac{π}{2}$，
φ=$\frac{π}{4}$，
f（x）=sin（5x+$\frac{π}{4}$）在（$\frac{5π}{18}$，$\frac{2π}{5}$）单调，满足题意，
∴ω的最大值为5．
故答案为：5．

点评 本题考查正弦函数的对称轴，对称中心及函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．