Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，-2）与$\overrightarrow{b}$（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，$\frac{π}{2}$）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-φ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，求sinφ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量垂直数量积为0，得到sinθ=2cosθ，结合基本工关系式求sinθ和cosθ；
（2）利用角的等价变换φ=θ-（θ-φ），结合（1）求sinφ．

解答 解：（1）（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ，
又∵sin²θ+cos²θ=1，
∴4cos²θ+cos²θ=1，即cos²θ=$\frac{1}{5}$，∴sin²θ=$\frac{4}{5}$，
又∴sinθ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosθ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．…（6分）
（2）∵sin（θ-φ）=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
∴cos（θ-φ）=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinφ=sin[θ-（θ-φ）]=sinθcos（θ-φ）-cosθsin（θ-φ）=-$\frac{\sqrt{10}}{10}$．…（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算以及利用三角函数的基本关系式化简三角函数式；求值．