Question

18．已知数列{a_n}是各项为正数的等比数列，且a₂=9，a₄=81．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）若b_n=log₃a_n，求证：数列{b_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）由（1）知${a_n}={3^n}$，b_n=n，只要证明b_n+1-b_n=（常数）即可得出．

解答 （1）解：设数列{a_n}的公比为q，∵a₂=9，a₄=81．
则${q^2}=\frac{a_4}{a_2}=\frac{81}{9}=9$，
又∵a_n＞0，∴q＞0，∴q=3，
故通项公式${a_n}={a_2}{q^{n-2}}=9×{3^{n-2}}={3^n}，\;\;n∈{N^*}$．
（2）证明：由（1）知${a_n}={3^n}$，∴${b_n}={log_3}{a_n}={log_3}{3^n}=n$，
∴b_n+1-b_n=（n+1）-n=1（常数），n∈N^*，
故数列{b_n}是一个公差等于1的等差数列．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其定义、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．