Question

13．已知函数f（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）若不等式f（x+$\frac{1}{2}$）≤2m+1（m＞0）的解集为[-2，2]，求实数m的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{2^y}$+|2x+3|，对任意的实数x，y∈R恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得|2x|≤2m+1，（m＞0），由解集为[-2，2]，可得m+$\frac{1}{2}$=2，即可得到m的值；
（Ⅱ）原不等式即为|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{a}{2^y}$．运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值为4，利用基本不等式可解得实数a的最小值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）由题意，知不等式|2x|≤2m+1（m＞0）解集为[-2，2]．
由|2x|≤2m+1，得-m-$\frac{1}{2}≤x≤m+\frac{1}{2}$，…2分
所以，由m+$\frac{1}{2}$=2，解得m=$\frac{3}{2}$．…4分
（Ⅱ）不等式f（x）≤2^y+$\frac{a}{2^y}$+|2x+3|等价于|2x-1|-|2x+3|≤2^y+$\frac{a}{2^y}$，
由题意知（|2x-1|-|2x+3|）_max≤2^y+$\frac{a}{2^y}$，…6分
因为|2x-1|-|2x+3|≤|（2x-1）-（2x+3）|=4，
所以2^y+$\frac{a}{2^y}$≥4，即a≥2^y（4-2^y）对任意的y∈R都成立，
则a≥[2^y（4-2^y）]_max，…8分
而${2^y}（4-{2^y}）≤{[\frac{{{2^y}+（4-{2^y}）}}{2}]^2}$=4，当且仅当2^y=4-2^y，即y=1时等号成立，
故a≥4，
所以实数a的最小值为4．…10分．

点评 本题考查不等式的解法，注意运用方程和不等式的转化思想，注意运用绝对值不等式的性质和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．