Question

10．已知函数f（x）=x²-2ax+4
（1）求函数y=f（x），x∈[0，2]的最小值
（2）若对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的对称轴，分类讨论，得到函数的单调区间，从而求出函数的最值；
（2）通过讨论a的范围，得到不等式，综合解出即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2ax+4的对称轴为x=a，
当a≤0时，f（x）在[0，2]上单调递增，f（x）_min=f（0）=4；
当0＜a＜2时，f（x）在[0，a）上单调递减，在[a，2]上单调递增，f（x）_min=f（a）=4-a²；
当a≥2时，f（x）在[0，2]上单调递减，f（x）_min=f（2）=8-4a；
（2）对任意x₁，x₂∈[0，2]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜4恒成立，即y_max-y_min＜4
①当a≤0时，f（x）_min=4，f（x）_max=8-4a，
∴8-4a-4＜4，∴a＞0不合题意
②当0＜a＜1时，f（x）_min=4-a²，f（x）_max=8-4a，
∴8-4a-（-a²+4）＜4，0＜a＜4，∴0＜a＜1；
③当1≤a≤2时，f（x）_min=4-a²，f（x）_max=4，
∴4-（-a²+4）＜4，∴-2＜a＜2，∴1≤a＜2；
④当a≥2时，f（x）_min=f（2）=8-4a，f（x）_max=4
∴4-（8-4a）＜4，∴a＜2不合题意；
综上所述：0＜a＜2．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查了转化思想，是一道中档题．