Question

17．已知函数f（x）=-sin²x+2asinx+5
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数f（x）的值域；
（2）当f（x）=0有实数解时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，设t=sinx，则原函数变形为y=-t²+t+5   t∈[-1，1]，求值域．
（2）利用函数的单调性分类讨论．

解答 解：（1）当a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=-sin²x+sinx+5，设t=sinx，则原函数变形为y=-t²+t+5   t∈[-1，1]，
有二次函数的性质可得：
当t=$\frac{1}{2}$时，y取得最大值$\frac{21}{4}$；   
当t=-1时，y取得最小值3．
所以：f（x）的值域为$[{3，\frac{21}{4}}]$．
（2）设λ=sinx，则原函数变形为y=-λ²+2aλ+5   λ∈[-1，1]，
要使f（x）=0有实数解：
①a＞1时，函数在λ∈[-1，1]上单调递增，因此有$\left\{\begin{array}{l}4-2a≤0⇒a≥2\\ 4+2a≥0⇒a≥-2\end{array}\right.⇒a≥2$
②-1≤a≤1时，有 $\left\{\begin{array}{l}f（a）≥0⇒a∈R\\ f（1）≤0或f（-1）≤0⇒a≥2或a≤-2\end{array}\right.$，所以此时无解．
③a＜-1时，函数在t∈[-1，1]上单调递减，$\left\{\begin{array}{l}4+2a≤0⇒a≤-2\\ 4-2a≥0⇒a≤2\end{array}\right.⇒a≤-2$
综上所述：a≥2或a≤-2．

点评 本题主要考查了换元法解题的思想，和二次函数的图象及性质的运用．属于中档题．