Question

8．设a_n（n=2，3，4，…）是（3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中x的一次项的系数，则$\frac{\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}}{{A}_{2016}^{3}}$的值是$\frac{1}{54}$．

Answer 1

分析 （3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•（-1）^r${x}^{\frac{r}{2}}$，可得x的一次项的系数=${∁}_{n}^{2}$3^n-2.$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{9}$${∁}_{n}^{2}$，利用组合数的性质可得：${∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}$+…+${∁}_{2015}^{2}$=${∁}_{2016}^{3}$．代入化简即可得出．

解答 解：（3-$\sqrt{x}$）ⁿ的展开式中，通项公式T_r+1=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•$（-\sqrt{x}）^{r}$=${∁}_{n}^{r}$3^n-r•（-1）^r${x}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1，解得r=2，则x的一次项的系数=${∁}_{n}^{2}$3^n-2．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{9}$${∁}_{n}^{2}$，
∵${∁}_{2}^{2}+{∁}_{3}^{2}$+…+${∁}_{2015}^{2}$=${∁}_{2016}^{3}$．
∴$\frac{\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}+\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}+…+\frac{{a}_{2015}}{{3}^{2015}}}{{A}_{2016}^{3}}$=$\frac{{∁}_{2016}^{3}}{9{A}_{2016}^{3}}$=$\frac{1}{9×3！}$=$\frac{1}{54}$．
故答案为：$\frac{1}{54}$．

点评 本题考查了二项式定理的应用及其性质、排列与组合数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．