Question

6．已知函数f（x）=2sin（ωx+$\frac{π}{6}$），x∈R．在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，若相邻交点距离的最小值为$\frac{π}{3}$，则f（x）的最小正周期为（　　）

• A． $\frac{π}{2}$
• B． $\frac{2π}{3}$
• C． π
• D． 2π

Answer 1

分析 令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，化为sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．由于在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值是 $\frac{π}{3}$，可得x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，即可得出ω．然后求解函数的周期．

解答 解：令2sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=1，化为sin（ωx+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
解得ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{6}$或ωx+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
由于在曲线y=f（x）与直线y=1的交点中，相邻交点距离的最小值是 $\frac{π}{3}$，可得
x₂-x₁=$\frac{2π}{3ω}$=$\frac{π}{3}$，
解得ω=2．
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
故选：C．

点评 本题考查三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．