Question

5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，角A、B、C的度数成等差数列，$b=\sqrt{13}$．
（1）若3sinC=4sinA，求c的值；
（2）求a+c的最大值．

Answer 1

分析 （1）由等差数列的性质及三角形内角和定理可求$B=\frac{π}{3}$，由正弦定理可求a=$\frac{3c}{4}$，进而利用余弦定理可得c的值．
（2）由正弦定理，可得a=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$sinA，c=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$sinC，利用三角函数恒等变换的应用化简可得a+c=2$\sqrt{13}$sin（A+$\frac{π}{6}$），由$0＜A＜\frac{2π}{3}$，可求范围$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，进而利用正弦函数的性质可求最大值．

解答 解：（1）∵由角A，B，C的度数成等差数列，得2B=A+C．
又∵A+B+C=π，
∴$B=\frac{π}{3}$．
∴由正弦定理，可得：3c=4a，即a=$\frac{3c}{4}$，
∴由余弦定理，可得：b²=a²+c²-2accosB，即：13=（$\frac{3c}{4}$）²+c²-2×$\frac{3c}{4}×c×\frac{1}{2}$，解得：c=4．
（2）由正弦定理，可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$，
∴a=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$sinA，c=$\frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}}$sinC，
∴$a+c=\frac{{2\sqrt{13}}}{{\sqrt{3}}}（{sinA+sinC}）=\frac{{2\sqrt{13}}}{{\sqrt{3}}}[{sinA+sin（{A+B}）}]=\frac{{2\sqrt{13}}}{{\sqrt{3}}}[{sinA+sin（{A+\frac{π}{3}}）}]$=$\frac{{2\sqrt{13}}}{{\sqrt{3}}}（{\frac{3}{2}sinA+sin\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA}）=2\sqrt{13}sin（{A+\frac{π}{6}}）$．
由$0＜A＜\frac{2π}{3}$，得$\frac{π}{6}＜A+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$．
所以当$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$A=\frac{π}{3}$时，${（{a+c}）_{max}}=2\sqrt{13}$．

点评 本题主要考查了等差数列的性质，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．