Question

5．判断函数f（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{4}{x}$+3的单调性．

Answer 1

分析 根据单调性的定义，设任意的x₁＜x₂，且x₁≠0，x₂≠0，然后作差，通分，提取公因式，从而可以得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{2}-{x}_{1}）•\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$，这样便可判断出当${x}_{1}，{x}_{2}∈（-∞，-\frac{1}{2}]$，或（0，+∞）时，便有f（x₁）＞f（x₂），而当${x}_{1}，{x}_{2}∈（-\frac{1}{2}，0）$时，便有f（x₁）＜f（x₂），这样便可得出f（x）的单调性．

解答 解：设x₁＜x₂，则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}+\frac{4}{{x}_{1}}-\frac{1}{{{x}_{2}}^{2}}-\frac{4}{{x}_{2}}$
=$\frac{（{x}_{2}+{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}+\frac{4（{x}_{2}-{x}_{1}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$
=$（{x}_{2}-{x}_{1}）•\frac{\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4}{{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}}$；
∵x₁＜x₂；
∴x₂-x₁＞0，${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}＞0$；
①当${x}_{1}，{x}_{2}∈（-∞，-\frac{1}{2}]$或（0，+∞）时，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$]，（0，+∞）上单调递减；
②当${x}_{1}，{x}_{2}∈（-\frac{1}{2}，0）$时，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}+4＜0$；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在$（-\frac{1}{2}，0）$上单调递增．

点评 考查函数单调性的定义，以及根据单调性定义判断一个函数的单调性的方法和过程，作差的方法比较f（x₁），f（x₂），作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₂-x₁，判断单调性时要注意函数的定义域．