Question

11．以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．
例如，当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有如下结论：
①设函数f（x）的定义域为D，若对于任何实数b，存在a∈D，使得f（a）=b，则f（x）∈A；
②若函数f（x）∈B，则f（x）有最大值和最小值；
③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则（f（x）+g（x））∉B；
④若函数f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．
其中正确的是（　　）

• A． ②③④
• B． ①③④
• C． ②③
• D． ①③

Answer 1

分析 根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．

解答 解：（1）对于命题①，
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f（a）=b”，
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②，
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；
（3）对于命题③，
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（-∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得-M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④，
∵函数f（x）=aln（x+2）+$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2，a∈R）有最大值，
∴假设a＞0，当x→+∞时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；
  假设a＜0，当x→-2时，$\frac{x}{{x}^{2}+1}$→-$\frac{2}{5}$，ln（x+2）→-∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．
∴a=0．即函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$（x＞-2）
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2，∴0＜$\frac{1}{1+\frac{1}{x}}$$≤\frac{1}{2}$，即0＜f（x）$≤\frac{1}{2}$；
当x=0时，f（x）=0；
当x＜0时，x+$\frac{1}{x}$≤-2，∴-$\frac{1}{2}≤\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$＜0，即-$\frac{1}{2}≤f（x）＜0$．
∴-$\frac{1}{2}≤f（x）≤\frac{1}{2}$．即f（x）∈B．故命题④是真命题．
故选：B．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．