Question

5．已知$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是平面内两个不共线的向量，$\overrightarrow{a}$=3$\overrightarrow{{e}_{1}}$-2$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{b}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{c}$=7$\overrightarrow{{e}_{1}}$-4$\overrightarrow{{e}_{2}}$，试用$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$表示$\overrightarrow{c}$．

Answer 1

分析 可设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$，然后进行向量的加法和数乘运算便可得到$\overrightarrow{c}=（3λ-2μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（μ-2λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$，从而由平面向量基本定理便可得出关于λ，μ的二元一次方程组，解方程组便可得出λ，μ的值，从而用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$表示出$\overrightarrow{c}$．

解答 解：设$\overrightarrow{c}=λ\overrightarrow{a}+μ\overrightarrow{b}$=$3λ\overrightarrow{{e}_{1}}-2λ\overrightarrow{{e}_{2}}-2μ\overrightarrow{{e}_{1}}+μ\overrightarrow{{e}_{2}}$=$（3λ-2μ）\overrightarrow{{e}_{1}}+（μ-2λ）\overrightarrow{{e}_{2}}$；
又$\overrightarrow{c}=7\overrightarrow{{e}_{1}}-4\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∵$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$不共线；
∴根据平面向量基本定理，$\left\{\begin{array}{l}{3λ-2μ=7}\\{μ-2λ=-4}\end{array}\right.$；
解得λ=1，μ=-2；
∴$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}$．

点评 考查向量的加法和数乘运算，以及向量不共线的概念，平面向量基本定理．