Question

16．设函数y=f（x）是定义在（-∞，+∞）上的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调函数，则满足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之各为-8．

Answer 1

分析 f（x）为偶函数⇒f（-x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）则a=b或a=-b．

解答 解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数
∴若f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）时，必有x=$\frac{x+3}{x+4}$或-x=$\frac{x+3}{x+4}$，
整理得x²+3x-3=0或x²+5x+3=0，
所以x₁+x₂=-3或x₃+x₄=-5．
∴满足f（x）=f（$\frac{x+3}{x+4}$）的所有x之和为-3+（-5）=-8，
故答案为：-8．

点评 本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（-x）=f（x）；②增函数x₁＜x₂?f（x₁）＜f（x₂）；减函数x₁＜x₂?f（x₁）＞f（x₂）．（2）培养数形结合的思想方法．