Question

17．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=-1，a_n+1=S_n•S_n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，求其通项公式后，利用a_n=S_n-S_n-1求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由a_n+1=S_n•S_n+1，得：
S_n+1-S_n=S_n•S_n+1，
即$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}=-1$，
∴数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以-1为首项，以-1为公差的等差数列，
则$\frac{1}{{S}_{n}}=-1-（n-1）=-n$，∴${S}_{n}=-\frac{1}{n}$．
∴当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}=-\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}=\frac{1}{n（n-1）}$．
n=1时上式不成立，
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题．