Question

【题目】已知O为坐标原点，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）是椭圆 + =1上的点，且x1x2+2y1y2=0，设动点P满足 = +2
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=x+m（m≠0）与曲线C交于A，B两点，求三角形OAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），
即x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 因为点M，N在椭圆 上，
所以 ，
故
=
=20+4（x1x2+2y1y2），
设kOM ， kON分别为直线OM，ON的斜率，
由题意知， ，
因此x1x2+2y1y2=0，
所以动点P的轨迹C的方程为x2+2y2=20．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知P点是椭圆 上的点，
设该椭圆的左右焦点为F1、F2 ， 则由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|为定值，
又因为 ，
因此两焦点的坐标分别为 ．
将曲线C与直线l联立： ，消y得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，
∵直线l与曲线C交于A、B两点，设A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），
∴△=16m2﹣4×3×（2m2﹣20）＞0， ，
又∵m≠0，得0＜m2＜30，
∵点O到直线AB：x﹣y+m=0的距离 ，
∴ ，
∴
= ．
∴三角形OAB面积的最大值为5
【解析】（Ⅰ）设点P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由 ，得（x，y）=（x1 ， y1）+2（x2 ， y2），由点差法得 ，由此能求出动点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）将曲线C与直线l联立： ，得：3x2+4mx+2m2﹣20=0，设A（x3 ， y3），B（x4 ， y4），由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式，结合已知条件能求出三角形OAB面积的最大值．