Question

【题目】已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1，点P为直线x+2y﹣9=0上一动点，过点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则 的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（0， ]
【解析】解：设∠APB=2θ，则PA=PB= ， 当OP取得最小值时，θ取得最大值．
圆心C（2，1）到直线x+2y﹣9=0的距离为 = ，圆的半径为r=1，
∴sinθ的最大值为 = ，∴ ≤cosθ＜1．
∵ ≤2cos2θ﹣1＜1，即 ≤cos2θ＜1．
= cos2θ= cos2θ．
设cos2θ=t，f（t）= = ，
则f′（t）= ，令f′（t）=0得t=﹣1+ 或t=﹣1﹣ ，
∴f（t）在[ ，1）上单调递增，
∴f（t）的最大值为f（ ）= ，又f（1）=0，
∴0＜f（t）≤ ．
所以答案是（0， ]．