Question

【题目】已知集合，且.

（1）证明：若，则是偶数；

（2）设，且，求实数的值；

（3）设，求证：；并求满足的的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析，.

【解析】

（1）根据,将代入化简,结合即可证明.

（2）根据题意,设,结合（1）并分类讨论即可求得的值, 代入求得的值,讨论并舍去不符合要求的的值,即可得实数的值;

（3）根据题意,设代入化简,并结合即可证明;化简不等式,结合（2）可知,在范围内的值只能是,即,即可求得的值.

（1）证明: 若,则

所以

因为

所以原式

因为

所以偶数

原式得证

（2）因为,且

则,所以

设,

由（1）可知,即

所以或

当时,代入可得

此时,不满足,所以不成立

当时,代入解得,若,则,不满足,所以不成立;若,则,满足

综上,可知

（3）证明:因为,所以可设且

则

代入

即成立,原式得证

对于,不等式同时除以可得

由（2）可知, 在范围内,

所以

即