Question

【题目】如图，已知过抛物线E：x2=4y的焦点F的直线交抛物线E与A、C两点，经过点A的直线l1分别交y轴、抛物线E于点D、B（B与C不重合），∠FAD=∠FDA，经过点C作抛物线E的切线为l2 ．
（Ⅰ）求证：l1∥l2；
（Ⅱ）求三角形ABC面积的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵抛物线E：x2=4y的焦点F为（0，1），且直线AF的斜率一定存在， 故设AF的方程为：y=kx+1．
设A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），（不妨设x2＞0）
由 得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，
∵∠FAD=∠FDA，∴AF=DF， ，∴yD=y1+2．
∴直线l1的斜率为k1= ，
∵x1x2=﹣4，∴
又∵ ，∴过C（x2 ， y2）的切线斜率 ．
即k1=k2 ， ∴l1∥l2 ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得直线l1的斜率为 ，故直线l1的方程为：
联立 得 ，
∴x1+xB=2x2 ， ．
∴AB= =2 ，
点C到直线l1的距离为d= = = = =
三角形ABC面积s= =
由（Ⅰ）可得 ，所以当k=0时（x2﹣x1）min=4，
∴当k=0时，三角形ABC面积s= = 取最小值，（s）min=
【解析】（Ⅰ）设AF的方程为：y=kx+1．设A（x1 ， y1），C（x2 ， y2），（不妨设x2＞0）由 得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，由∠FAD=∠FDA，得AF=DF，yD=y1+2．即可得k1=k2 ， 可证l1∥l2 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）得直线l1的斜率为 ，故直线l1的方程为： 联立 得
AB= =2 ，
点C到直线l1的距离为d= ，三角形ABC面积s= = ，由（Ⅰ）可得 ，可得当k=0时，三角形ABC面积s= = 取最小值．