Question

18．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线C的方程为ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4．直线l交曲线C与A、B两点．
（Ⅰ）求|AB|；
（Ⅱ）若点P为曲线C上任意一点，求△PAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （I）曲线C的方程为ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，利用互化公式化为直角坐标方程，把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），代入可得：t²-$\frac{16}{13}$=0，利用根与系数的关系及其|AB|=|t₁-t₂|即可得出．
（II）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），消去参数t可得普通方程，设P（2cosθ，sinθ），利用点到直线的距离公式可得点P到直线l的距离d，利用和差公式、三角函数的单调性值域即可得出．利用S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|即可得出面积最大值．

解答 解：（I）曲线C的方程为ρ²cos²θ+4ρ²sin²θ=4，化为直角坐标方程：x²+4y²=4，
把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），代入可得：t²-$\frac{16}{13}$=0，解得t₁=$\sqrt{\frac{16}{13}}$，t₂=-$\sqrt{\frac{16}{13}}$，
∴|AB|=|t₁-t₂|=2$\sqrt{\frac{16}{13}}$=$\frac{8\sqrt{13}}{13}$．
（II）直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}t\\ y=\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}$（t为参数），
消去参数t可得普通方程：$\sqrt{3}$x-y=0，
设P（2cosθ，sinθ），
则点P到直线l的距离d=$\frac{|2\sqrt{3}cosθ-sinθ|}{2}$=$\frac{|\sqrt{13}sin（θ-φ）|}{2}$≤$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
当sin（θ-φ）=±1时取等号．
∴S_△PAB=$\frac{1}{2}$d|AB|$≤\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{13}}{2}$×$\frac{8\sqrt{13}}{13}$=2．
∴△PAB面积的最大值是2．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与曲线相交弦长公式、点到直线的距离公式、直角坐标方程与极坐标方程的互化、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．