Question

1．已知函数f（x）=e^x-ax-1-$\frac{{x}^{2}}{2}$，x∈R．
（Ⅰ）若a=$\frac{1}{2}$，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x≥0都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（-x）+2+x²，求证：F（1）•F（2）…F（n）＞（eⁿ⁺¹+2）${\;}^{\frac{n}{2}}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出导函数，对导函数二次求导，得出导函数的最小值为$\frac{1}{2}$＞0，判断原函数递增；
（Ⅱ）二次求导，得出导函数递增，对1-a进行分类讨论，得出a的范围；
（Ⅲ）求出F（x）=e^x+e^-x，利用放缩法判断$F（{x_1}）F（{x_2}）={e^{{x_1}+{x_2}}}+{e^{-（{x_1}+{x_2}）}}+{e^{{x_1}-{x_2}}}+{e^{-{x_1}+{x_2}}}＞{e^{{x_1}+{x_2}}}+{e^{-（{x_1}+{x_2}）}}+2＞{e^{{x_1}+{x_2}}}+2$
得出F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，…F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．最后得出结论．

解答 （Ⅰ）解：$f'（x）={e^x}-x-\frac{1}{2}$，令g（x）=f'（x），则g'（x）=e^x-1，
则当x∈（-∞，0）时，g'（x）＜0，f'（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，f'（x）单调递增．
所以有$f'（x）≥f'（0）=\frac{1}{2}＞0$，所以f（x）在（-∞，+∞）上递增…（4分）
（Ⅱ）解：当x≥0时，f'（x）=e^x-x-a，令g（x）=f'（x），
则g'（x）=e^x-1≥0，则f'（x）单调递增，f'（x）≥f'（0）=1-a
当a≤1即f'（x）≥f'（0）=1-a≥0时，f（x）在（0，+∞）上递增，f（x）≥f（0）=0成立；
当a＞1时，存在x₀∈（0，+∞），使f'（x₀）=0，
则f（x）在（0，x₀）上递减，则当x∈（0，x₀）时，f（x）＜f（0）＜0，不合题意．
综上a≤1．（8分）
（Ⅲ）证明：∵F（x）=e^x+e^-x，
∴$F（{x_1}）F（{x_2}）={e^{{x_1}+{x_2}}}+{e^{-（{x_1}+{x_2}）}}+{e^{{x_1}-{x_2}}}+{e^{-{x_1}+{x_2}}}＞{e^{{x_1}+{x_2}}}+{e^{-（{x_1}+{x_2}）}}+2＞{e^{{x_1}+{x_2}}}+2$
∴F（1）F（n）＞eⁿ⁺¹+2，F（2）F（n-1）＞eⁿ⁺¹+2
…F（n）F（1）＞eⁿ⁺¹+2．
由此得，[F（1）F（2）…F（n）]²=[F（1）F（n）]•[F（2）F（n-1）]•…•[F（n）F（1）]＞（eⁿ⁺¹+2）ⁿ
故$F（1）•F（2）•…•F（n）＞{（{e^{n+1}}+2）^{\frac{n}{2}}}$（n∈N^*）．

点评 本题考查了导函数的二次求导，导函数的分类讨论问题和放缩法的应用，难点是对函数的构造和放缩的应用．