Question

4．如图，椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下顶点分别为B₂，B₁，左、右顶点分别为A₁，A₂，若线段A₂B₂的垂直平分线恰好经过B₁，则椭圆的离心率是$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 利用已知条件，转化为：B₁B₂=A₂B₁，然后求解椭圆的离心率即可．

解答 解：椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的上、下顶点分别为B₂，B₁，左、右顶点分别为A₁，A₂，
若线段A₂B₂的垂直平分线恰好经过B₁，
可得B₁B₂=A₂B₁，
即：2b=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，可得：a²=3b²=3a²-3c²，即2a²=3c²，
可得e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$；

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．