Question

16．已知圆x²+（y-2）²=1被双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截得的弦长为$\sqrt{3}$，则该双曲线离心率的值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为$\frac{1}{2}$，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx-ay=0，
∵弦长为$\sqrt{3}$，圆的半径为1，
由弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，
则圆心到渐近线的距离d=$\sqrt{1-\frac{3}{4}}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{|b|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，即a²=3b²，
∴c²=b²+a²=4b²=$\frac{4}{3}$a²，
∴双曲线的离心率为e²=$\frac{4}{3}$，
∴双曲线的离心率为e=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆中弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，求得圆心到渐近线的距离．