Question

11．如图，过曲线C：y=x³（x≥0）上点A₁（2，8）作C的切线交x轴于点B₁，过点B₁作x轴的垂线交曲线C与点A₂，过点A₂作C的切线交x轴于点B₂，再过点B₂作x轴的垂线交曲线C与点A₃，过点A₃作C的切线交x轴于点B₃，…、以此类推，得到一系列点：A₁，B₁，A₂，B₂，A₃，B₃，…记点A_n的横坐标为a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|的值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得切线的斜率，可得切线的方程，求得与x轴的交点，可得B₁（$\frac{4}{3}$，0），A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），B₂（$\frac{8}{9}$，0），A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），B₃（$\frac{16}{27}$，0），即可得到a₁，a₂，a₃，…，由等比数列的通项公式可得通项；
（2）运用两点的距离公式求得线段的长度，再由等比数列的求和公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（1）y=x³（x≥0）的导数为y′=3x²，
在点A₁（2，8）处的切线斜率为3×4=12，
即有点A₁（2，8）处的切线方程为y-8=12（x-2），
令y=0，可得x=$\frac{4}{3}$，即B₁（$\frac{4}{3}$，0），
由题意可得A₂（$\frac{4}{3}$，$\frac{64}{27}$），
在点A₂处的切线斜率为3×$\frac{16}{9}$=$\frac{16}{3}$，
即有点A₂处的切线方程为y-$\frac{64}{27}$=$\frac{16}{3}$（x-$\frac{4}{3}$），
令y=0，可得x=$\frac{8}{9}$，即B₂（$\frac{8}{9}$，0），
由题意可得A₃（$\frac{8}{9}$，$\frac{512}{729}$），
在点A₃处的切线斜率为3×$\frac{64}{81}$=$\frac{64}{27}$，
即有点A₃处的切线方程为y-$\frac{512}{729}$=$\frac{64}{27}$（x-$\frac{8}{9}$），
令y=0，可得x=$\frac{16}{27}$，即B₃（$\frac{16}{27}$，0），
…，
即有a₁=2，a₂=$\frac{4}{3}$，a₃=$\frac{8}{9}$，…，a_n=2•（$\frac{2}{3}$）^n-1；
（2）|B₁A₂|+|B₂A₃|+|B₃A₄|+…+|B_nA_n+1|
=（$\frac{4}{3}$）³+（$\frac{8}{9}$）³+（$\frac{16}{27}$）³+…+8•（$\frac{2}{3}$）³ⁿ
=$\frac{\frac{64}{27}（1-\frac{{8}^{n}}{2{7}^{n}}）}{1-\frac{8}{27}}$=$\frac{64}{19}$[1-（$\frac{8}{27}$）ⁿ]．

点评 本题考查数列的通项和求和，注意运用归纳法和等比数列的通项公式及求和公式，同时考查导数的运用：求切线的方程，考查运算能力，属于中档题．