Question

当1≤x≤64时，求y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•log₂

8

x

的最大值．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用

分析：设log₂x=t，由1≤x≤64，可得0≤t≤6．则y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•（3-log₂x）=（log₂x）⁴-12(log2x)3+36(log2x)2=t⁴-12t³+36t²=f（t），利用导数研究其到底是极值与最值即可得出．

解答： 解：设log₂x=t，∵1≤x≤64，∴0≤t≤6．
则y=（log₂x）⁴+12（log₂x）²•（3-log₂x）=（log₂x）⁴-12(log2x)3+36(log2x)2=t⁴-12t³+36t²=f（t），
f′（t）=4t³-36t²+72t=4t（t²-9t+18）=4t（t-3）（t-6），
由f′（t）＞0，解得3＜t＜6，此时函数f（t）单调递增；由f′（t）＜0，解得0＜t＜3，此时函数f（t）单调递减．
而f（0）=0，f（6）=6⁴-12×6³+36×6²=0．
∴f（t）的最大值为0，即当x=1或64时，y取得最大值．

点评：本题考查了对数的运算法则、对数函数的单调性、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了换元法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．