Question

13．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-2
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，c_n=$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，记数列{c_n}的前n项和为T_n，求 T_n；
（Ⅲ）设d_n=na_n，记数列{d_n}的前n项和为G_n，求G_n．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，可得c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂项求和”方法即可得出．
（3）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=2，…（1分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2）…（2分）
即：$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=2$，…（3分）
∴数列{a_n}为以2为公比的等比数列，∴${a_n}={2^n}$…（4分）
（2）由b_n=log₂a_n得b_n=log₂2ⁿ=n，…（5分）
则c_n=$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{n（{n+1}）}}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，…（6分）
T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．…（8分）
（3）${d_n}=n{a_n}=n×{2^n}$，${G_n}=1×2+2×{2^2}+3×{2^3}+…+n×{2^n}$，
?$2{G_n}=1×{2^2}+2×{2^3}+3×{2^4}+…+（n-1）×{2^n}+n×{2^{n+1}}$…?…（9分）
错位相减得，$-{G_n}=2+{2^2}+{2^3}+…+{2^n}-n×{2^{n+1}}$=$\frac{{2（1-{2^n}）}}{1-2}-n×{2^{n+1}}=（1-n）{2^{n+1}}-2$…（11分）
从而，${G_n}=（n-1）{2^{n+1}}+2$…（12分）

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．