Question

已知函数在点处的切线方程是x+ y－l=0，其中e为自然对数的底数，函数g（x）=1nx－ cx+ 1+ c（c>0），对一切x∈（0,+）均有恒成立．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）求证：.

Answer 1

（Ⅰ）,,；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）利用导数的几何意义求、，利用导数导数法判断单调性，用函数的最值积恒成立求；（Ⅱ）构造新函数，利用导数法求的最小值，利用结合（Ⅰ）中的结论进行证明.
试题解析：（Ⅰ）,,,
,.                                  (2分)
,由于,
所以当时,是增函数,
当时,是减函数,
,
由恒成立，，即恒成立，①     （4分）
令，则，
在上是增函数，上是减函数，
，即，当且仅当时等号成立 .
，
由①②可知，，所以.            (6分)
（Ⅱ）证法一:所求证不等式即为.
设,,
当时,是减函数,
当时,是减函数,
,即.             (8分)
由（Ⅰ）中结论②可知,,,当时,,
从而                    (10分)

.
(或者也可)
即,原不等式成立.                           (12分)