Question

已知椭圆左、右焦点分别为F₁、F₂，点P（2，），点F₂在线段PF₁的中垂线上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M、N两点，直线F₂M与F₂N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

（1）；（2）详见解析．

试题分析：（1）根据椭圆的离心率求得a和c的关系，进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0）又点F₂在线段PF₁的中垂线上，推断|F₁F₂|=|PF₂|，进而求得c，则a和b可得，进而求得椭圆的标准方程．（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆方程联立消去y，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根据韦达定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直线F₂M和F₂N的斜率，由直线F₂M与F₂N的斜率互为相反数，可推断两直线斜率之和为0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的关系，代入直线方程进而可求得直线过定点．
解：（1）由椭圆C的离心率得，其中，椭圆C的左、右焦点分别为又点F₂在线段PF₁的中垂线上
解得
        
（2）由题意，知直线MN存在斜率，设其方程为
由
消去设
则且
       （8分）
由已知，得
化简，得
       （10分）
 整理得
 直线MN的方程为，
因此直线MN过定点，该定点的坐标为（2，0） （12分）．